Simply Riemann: 17 (Great Lives)

Cover Page Damaged at the bottom

Jeremy J. Gray ist Professor für die Geschichte der Mathematik an den Universitäten von Warwick und Cambridge. Er befasst sich vor allem mit der Geschichte der Geometrie und der Funktionentheorie, u.a. gab er das mathematische Tagebuch von Carl Friedrich Gauß heraus.Bernhard Riemann studiert zunächst in Berlin bei Dirichlet, Jacobi und Eisenstein, ab 1849 arbeitet er in Göttingen bei Gauß an einer Dissertation zur Funktionentheorie, 1854 habilitiert er sich mit dem berühmten Vortag ‘Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen‘. In Göttingen erhält Riemann zunächst eine außerordentliche Professur, bevor er 1959 Direchlets Nachfolgen auf den Lehrstuhl von Gauß wird. Obwohl nicht einmal 40 Jahre alt wird, gehört Riemann zweifellos zu den bedeutendsten Mathematikern seiner Zeit, mit seinen Arbeiten beeinflusste Riemann die weitere Entwicklung einer ganzen Reihen von Gebieten der Mathematik.Der Autor bemüht sich, mit seiner kurzen Biographie die Besonderheiten des Wirkens Riemanns herauszuarbeiten, dessen Schaffen in eine Zeit fällt, da sich die Mathematik zunehmend wandelt. Das zu verdeutlichen, beginnt Gray mit einem kurzen Abriss des Wirkens von Riemanns unmittelbaren Vorgängern Gauß und Dirichlet. Die Geschichte der Mathematik des 19. Jahrhunderts wird eingeleitet durch die ‘Disquisitiones Arithmeticae‘, mit denen Gauß die Zahlentheorie auf eine neue systematische Grundlage stellt und zahlreiche neue Ideen entwickelt. Das Werk markiert zudem den Beginn eine Hinwendung zu einer zunehmend abstrakteren Mathematik, in der Strukturen an Bedeutung gewinnen.In seiner Habilitationsschrift betrachtet Riemann die innere Geometrie von Räumen beliebiger Dimensionen und verallgemeinert damit Arbeiten von Gauß zu intrinsischen geometrischen Eigenschaften von Oberflächen, insbesondere Krümmungseigenschaften. Riemanns Theorie wurde später Grundlage für Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie.Bei seinen funktionentheoretischen Studien, verbindet Riemann analytische mit topologischen und geometrischen Methoden und gelangt u.a. zu einer Klassifizierung der später sogenannten Riemannschen Flächen.Am bekanntesten wurden wohl Riemanns zahlentheoretische Untersuchung zur Zeta- Funktion, die in enger Beziehung zur Verteilung der Primzahlen steht. In dieser Arbeit wird auch die Vermutung formuliert, dass alle Nicht- Standard Nullstellen der Zeta- Funktion auf einer Parallel zur imaginären Achse liegen – diese Annahme vorausgesetzt, wären mit Hilfe der Zeta- Funktion genaue Approximationen der Verteilung der Primzahlen möglich. Leider blieb diese Hypothese bisher unbewiesen – sie ist eines der Millenniums Probleme des Clay Institutes.Aber Riemann leistete auch Bedeutendes auf dem Gebiet der reellen Funktionen, während für Newton und Leibniz noch außer Frage stand, dass alle Kurven differenzierbar sind, richtete Euler den Fokus der Analysis bereits auf Funktionen, ohne diesen Begriff besonders scharf zu fassen, Fourier ging schließlich im Rahmen seiner Untersuchungen von partiellen Differentialgleichungen davon aus, dass sich alle Funktionen in Form von trigonometrischen Reihe entwickeln lassen. Im Laufe des 19. Jahrhunderts wurden die Anforderungen an die Strenge von Beweisen zunehmen verschärft; Dirichlet konnte einen Konvergenzsatz für Fourier Reihen aber nur für stetige und monotone Funktionen zeigen, der sich für endlich viele Sprungstellen erweitern ließ. Riemann konstruiert nun ganze Klassen von Funktionen mit bisher unbekannten Eigenschaften, darunter punktweise konvergente trigonometrischer Reihen, deren Summe nicht integrierbar ist, so dass auch die Fourier- Formeln für die Koeffizienten der Reihe keinen Sinn ergeben, oder trigonometrischer Reihen, die in unendlich vielen Punkten eines endlichen Intervalls konvergieren, ohne dass deren Koeffizienten gegen Null gehen.Durch die Betrachtung dieser ‚pathologischen‘ Beispiele wurde die naiven Ansichten über den Zusammenhang von Funktionen und Fourier Reihen ad absurdum geführt. Somit beeinflusste Riemanns Arbeit ‘Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe‘ die weitere Entwicklung des gesamten Gebiets; sie befruchtet zahlreiche weitere Untersuchungen zu strengen Konvergenzkriterien und Eindeutigkeitssätzen.Wie Gray aufzeigt, zieht sich diese Betonung von konzeptionellen Argumenten wie ein roter Faden durch Riemanns Arbeiten, er steht damit in der Tradition von Gauß und Dirichlet, gemeinsam bereiteten sie damit den Weg der modernen abstrakten Mathematik. Diese Kurzbiographie ist deswegen ein würdiger Bestandteil der Serie Greate Lives, die sich der Aufgabe verschrieben hat, knappe aber verlässliche Einblicke in Leben und Werk der einflussreichsten Wissenschaftler, Künstler und Schriftsteller der Welt zu präsentieren, wie der Herausgeber der Serie, Charles Carlini (Simply Charly), in seinem Vorwort anmerkt.Mit seinem Büchlein, möchte der Autor aber nicht nur Riemanns Leben und Werk in knapper und fasslicher Weise darzustellen, er skizziert auch einige elementare Elemente seiner Mathematik. Dabei werden beim Leser nur einfache Kenntnisse der Analysis vorausgesetzt. Leider sind diese Abschnitte ein wenig Geometrielastig geraten.Das lesenswerte Buch wird abgeschlossen mit einer recht ausführlichen Bibliographie und einigen Anregungen zur weiteren Lektüre.

It is a real shame how formulae are treated in books. Not enough, that each formula is generally hailed for reducing sales by 50% each, the formulae in this book are rendered u.n.r.e.a.d.a.b.l.e in Kindles, such as to deride those daring to acquire these books, nevertheless.There is just the chance to evade to the Kindle app (tested on WIN10) where you can see in detail, how pathetic a resolution can be. I am undecided whether to finish reading this book!Ich habe mich durchgebissen. Eine Empfehlung kann ich trotzdem nicht abgeben. Für eine mathematisch interessante Übersicht ist der Inhalt viel zu oberflächlich und für eine interessante oder herzzerreissende Biographie fehlt viel zu viel an Riemanns Persönlichkeit und von seinem Leben. Hängen geblieben ist hauptsächlich (liegt an meinem Charakter?) dass Schwartz möglicherweise ein Ungustl war und Weierstraß nichts bewiesen hat. Riemann ist mir unbekannt geblieben.

Non è una biografia, bensì una trattazione anche abbastanza superficiale delle conquiste di Riemann. Non è una trattazione accattivante, è didascalica, a volte ripetitiva e confusa.

The book is good for historical context and how Riemann's ideas developed, but I feel like the author could go a bit deeper (hence the 4 star rating) on several of these topics with more mathematics included.

There is nothing simple about this book. I would estimate that half of this book is mathematical notation and references mathematicians other than Riemann. So, if you are not up on your calculus and, had wanted to know something about the man, I would avoid it.